Olet todennäköisesti kohdannut yksipuolisia esineitä satoja kertoja päivittäisessä elämässäsi - kuten yleinen kierrätyssymboli, joka on painettu alumiinitölkkien ja muovipullojen takaosaan.
Tätä matemaattista objektia kutsutaan Mobius-kaistaleksi. Se on kiehtonut ympäristönsuojelijoita, taiteilijoita, insinöörejä, matemaatikkoja ja monia muita siitä lähtien, kun se löysi 150 vuotta sitten kuolleen saksalaisen matemaatikon August Möbiuksen, vuonna 1858, 26. syyskuuta 1868, löytön vuonna 1858.
Möbius löysi yksipuolisen nauhan vuonna 1858 toimiessaan tähtitieteen ja korkeamman mekaniikan puheenjohtajana Leipzigin yliopistossa. (Toinen matemaatikko nimeltä Listing tosiasiallisesti kuvasi sitä muutamaa kuukautta aiemmin, mutta julkaisi työtään vasta vuonna 1861). Möbius näyttää tavanneen Möbiuksen kaistaleen työskennellessään moniarvoisten geometrisen teorian parissa, kiinteät hahmot, jotka koostuvat vertikaaleista, reunoista ja litteistä pinnoista .
Möbiuksen nauha voidaan luoda ottamalla paperinauha antamalla sille parittoman määrän puolikasteita, teippaamalla sitten päät takaisin yhteen silmukan muodostamiseksi. Jos otat kynän ja vedät viivan nauhan keskustaa pitkin, huomaat, että viiva kulkee ilmeisesti silmukan molemmin puolin.
Yksipuolisen esineen käsite inspiroi taiteilijoita, kuten hollantilainen graafinen suunnittelija MC Escher, jonka puuleikka “Möbius Strip II” näyttää punaiset muurahaiset indeksoivan peräkkäin Möbiuksen nauhaa pitkin.
Möbiuksen nauhalla on enemmän kuin yksi yllättävä ominaisuus. Kokeile esimerkiksi ottaa sakset ja leikata nauha puoliksi juuri piirtämällesi linjalle. Saatat olla yllättynyt huomatessasi, että et jätä kahta pienempää yksipuolista Möbiuksen nauhaa, vaan yhden pitkän kaksipuolisen silmukan sijaan. Jos sinulla ei ole paperikappaletta kädessä, Escherin puupiirros “Möbius Strip I” näyttää, mitä tapahtuu, kun Möbius-nauha leikataan sen keskiviivaa pitkin.
Vaikka nauhalla on varmasti visuaalinen vetovoima, sen suurin vaikutus on ollut matematiikassa, jossa se auttoi kannustamaan koko topologian nimeltä kentän kehittämiseen.
Topologi tutkii esineiden ominaisuuksia, jotka säilyvät siirrettäessä, taivuttamalla, venyttäessä tai kiertyessä ilman, että osia leikataan tai liimataan. Esimerkiksi sotkuinen korvakorvan pari on topologisessa mielessä sama kuin renkaaton korvakorvan pari, koska toisen muuttaminen toiseen vaatii vain liikkumisen, taivuttamisen ja kiertämisen. Niiden välillä ei tarvitse leikata tai liimata.
Toinen pari esineitä, jotka ovat topologisesti samoja, ovat kahvikuppi ja munkki. Koska molemmilla esineillä on vain yksi reikä, toinen voidaan muotoilla toiseen vain venyttämällä ja taivuttamalla.
Muki morfisee munkkeiksi. (Wikimedia Commons) Kohteen reikien lukumäärä on ominaisuus, jota voidaan muuttaa vain leikkaamalla tai liimaamalla. Tämä ominaisuus - nimeltään esineen suvuksi - antaa meille mahdollisuuden sanoa, että korvakorut ja munkki ovat topologisesti erilaisia, koska munkkeissa on yksi reikä, kun taas korvakoruissa ei ole reikiä.
Valitettavasti Möbiuksen kaistaleella ja kaksipuolisella silmukalla, kuten tyypillisellä silikonitietoisella rannekkeella, molemmilla näyttää olevan yksi reikä, joten tämä ominaisuus ei ole riittävä erottamaan heitä toisistaan - ainakin topologin näkökulmasta.
Sen sijaan ominaisuutta, joka erottaa Möbius-kaistaleen kaksipuolisesta silmukasta, kutsutaan orientoitavuudeksi. Samoin kuin reikien lukumäärä, esineen orientoitavuutta voidaan muuttaa vain leikkaamalla tai liimaamalla.
Kuvittele, että kirjoitat itsellesi muistiinpanon läpinäkyvälle pinnalle ja sitten kävelet tuolla pinnalla. Pinta on suunnattava, jos voit palata takaisin kävelyltäsi, aina lukea muistiinpanon. Suuntautumattomalla pinnalla saatat palata vain kävelyltäsi huomataksesi, että kirjoittamasi sanat ovat ilmeisesti muuttuneet heidän peilikuvikseen ja että niitä voi lukea vain oikealta vasemmalle. Kaksipuoleisella silmukalla muistiinpano luetaan aina vasemmalta oikealle riippumatta siitä, minne matkanne vei.
Koska Möbiuksen nauha ei ole suunnattavissa, kun taas kaksipuolinen silmukka on suunnattavissa, se tarkoittaa, että Möbiuksen nauha ja kaksipuolinen silmukka ovat topologisesti erilaisia.
(Luonut David Gunderman) Kun GIF käynnistyy, myötäpäivään luetellut pisteet ovat mustia, sinisiä ja punaisia. Voimme kuitenkin siirtää kolmen pisteen kokoonpanoa Möbius-nauhan ympäri siten, että kuva on samassa paikassa, mutta myötäpäivään lueteltujen pisteiden värit ovat nyt punaisia, sinisiä ja mustia. Jotenkin kokoonpano on siirtynyt omaan peilikuvaansa, mutta kaikki mitä olemme tehneet on siirtää sitä ympäri pintaa. Tämä muutos on mahdoton suunnattavalle pinnalle, kuten kaksipuolinen silmukka.
Suuntautettavuuden käsitteellä on tärkeitä vaikutuksia. Ota enantiomeerit. Näillä kemiallisilla yhdisteillä on samat kemialliset rakenteet paitsi yksi avainero: Ne ovat toistensa peilikuvia. Esimerkiksi kemiallinen L-metamfetamiini on aineosa Vicks Vapor Inhalers -laitteissa. Sen peilikuva, D-metamfetamiini, on luokan A laiton huume. Jos eläisimme suuntautumattomassa maailmassa, nämä kemikaalit olisivat erottamattomat.
Elokuu Möbiuksen löytö avasi uusia tapoja tutkia luonnon maailmaa. Topologian tutkimus tuottaa edelleen upeita tuloksia. Esimerkiksi viime vuonna topologia johti tutkijoita löytämään omituisia uusia ainetiloja. Tämän vuoden kenttämitali, matematiikan korkein kunnia, palkittiin matemaatikolle Akshay Venkateshille, joka auttoi integroimaan topologia muihin aloihin, kuten numeroteoriaan.
Tämä artikkeli on alun perin julkaistu keskustelussa.
David Gunderman, tohtori Sovelletun matematiikan opiskelija, Coloradon yliopisto ja Richard Gunderman, kansleri, lääketieteen professori, vapaiden taiteiden ja filantroopia, Indianan yliopisto
