Amerikkalais-kanadalainen matemaatikko Robert Langlands sai 20. maaliskuuta Abel-palkinnon, joka juhli elinikäistä saavutusta matematiikassa. Langlandsin tutkimus osoitti, kuinka geometrian, algebran ja analyysin käsitteet voitaisiin yhdistää yhdellä linkillä alkulukuihin.
Kun Norjan kuningas luovuttaa palkinnon Langlandsille toukokuussa, hän kunnioittaa viimeisintä 2 300 vuoden pyrkimyksessä ymmärtää alkuluvut, väitetysti suurin ja vanhin matematiikan tietojoukko. Tätä "Langlands-ohjelmaa" omistautuneena matemaatikkona olen kiehtonut alkunumeroiden historiasta ja siitä, kuinka viimeaikaiset edistysaskeleet pilaavat heidän salaisuutensa. Miksi he ovat kiehtoneet matemaatikot vuosituhansien ajan?
Primojen tutkimiseksi matemaatikot venyttävät kokonaislukuja yhden virtuaalisen verkon läpi toisensa jälkeen, kunnes vain alukkeita on jäljellä. Tämä seulontaprosessi tuotti miljoonien alkulukujen taulukoita 1800-luvulla. Sen avulla nykypäivän tietokoneet voivat löytää miljardeja primejä alle sekunnissa. Mutta seulan perusidea ei ole muuttunut yli 2000 vuodessa.
"Alkuluku on se, joka mitataan yksin yksiköllä", matemaatikko Euclid kirjoitti vuonna 300 eKr. Tämä tarkoittaa, että alkulukuja ei voida jakaa tasaisesti millään pienemmällä lukumäärällä paitsi 1. Tavanomaisesti matemaatikot eivät laske itseäsi yhtä kuin 1 alkuluku. Euclid todisti alkulähteiden äärettömyyden - he jatkavat ikuisesti -, mutta historia viittaa siihen, että Eratosthenes antoi meille seulan luetteloida nopeasti alkutoimet.
Tässä on seulan idea. Suodata ensin 2: n, sitten 3: n, sitten 5: n ja 7: n kerrannaiset - neljä ensimmäistä alkeista. Jos teet tämän kaikilla numeroilla 2 - 100, vain alkuluvut jäävät.
2, 3, 5 ja 7: n kerrannaisten seulominen jättää vain alkioiden välillä 1 - 100. (MH Weissmanin luvalla) Kahdeksalla suodatusvaiheella primaatit voidaan eristää jopa 400: een. 168 suodatusvaiheella primaatit voidaan eristää jopa miljoona. Se on Eratosthenes-seulan voima.
**********
Alkuhahmo taulukointialueissa on John Pell, englantilainen matemaatikko, joka omistautui luomaan hyödyllisiä numeroita sisältäviä taulukoita. Hänellä oli motivaatio ratkaista diofantosten muinaiset aritmeettiset ongelmat, mutta myös henkilökohtainen pyrkimys järjestää matemaattisia totuuksia. Hänen ponnistelujensa ansiosta jopa 100 000: n alkulukuiset levyt levitettiin laajalti 1700-luvun alkupuolella. Vuoteen 1800 mennessä riippumattomat projektit olivat taulukoineet alkupäät jopa miljoonaan.
Saksalaisten matemaatikko Carl Friedrich Hindenburg nimeltä Carl Friedrich Hindenburg automatisoi tylsiä seulontavaiheita säädettävillä liukusäätimillä leimaamaan useita kertoja taulukon koko sivulle kerralla. Toisessa matalan teknologian mutta tehokkaassa lähestymistavassa käytettiin stensiilejä kertolaskujen löytämiseen. Matemaatikko Jakob Kulik oli aloittanut 1800-luvun puoliväliin mennessä kunnianhimoisen hankkeen, jonka tarkoituksena oli löytää kaikki alkulähteet 100 miljoonaan asti.
Muotoiltu malli, jota Kulik käyttää seulomalla 37. kerrannaiset. AÖAW, Nachlass Kulik, (Kuva Denis Roegelin kohdalla, Tekijä toimitti) Tämä 1800-luvun ”iso tieto” olisi saattanut toimia vain vertailutaulukkona, ellei Carl Friedrich Gauss olisi päättänyt analysoida alkulukuja omasta puolestaan. Aseellisina jopa 3 miljoonan rivin luetteloilla Gauss alkoi laskea niitä, yksi ”chiliad” tai 1000 yksikön ryhmä kerrallaan. Hän laski primaat jopa 1 000: een, sitten alkut välillä 1 000 - 2 000, sitten 2 000 - 3 000 ja niin edelleen.
Gauss huomasi, että kun hänen laskettiin korkeammaksi, alukkeet muuttuivat vähitellen harvemmin käänteisen lokin lain mukaan. Gaussin laki ei osoita tarkalleen kuinka monta primaalia on, mutta se antaa melko hyvän arvion. Esimerkiksi hänen laissaan ennustetaan 72 rintamaa välillä 1 000 000 - 1 000 000. Oikea laskelma on 75 alkulukua, noin 4 prosentin virhe.
Vuosisata Gaussin ensimmäisten etsintöjen jälkeen hänen laki osoittautui "alkuluvun lauseessa". Prosenttivirhe lähestyy nollaa suuremmissa ja suurempissa alkuluokissa. Riemannin hypoteesi, tänään miljoonan dollarin palkinto-ongelma, kuvaa myös kuinka tarkka Gaussin arvio todella on.
Alkuluvun lause ja Riemann-hypoteesi saavat huomion ja rahaa, mutta molemmat seurasivat aikaisempaa, vähemmän hohtavaa data-analyysiä.
.....
Nykyään tietosarjamme tulevat pikemminkin tietokoneohjelmista kuin käsinleikattuista stensiileistä, mutta matemaatikot löytävät edelleen uusia malleja primeistä.
Lukuun ottamatta 2 ja 5, kaikki alkuluvut päättyvät numeroon 1, 3, 7 tai 9. 1800-luvulla todistettiin, että nämä mahdolliset viimeiset numerot ovat yhtä usein. Toisin sanoen, jos tarkastellaan alkulumia miljoonaan, noin 25 prosenttia päättyy 1: ään, 25 prosenttia päättyy 3: een, 25 prosenttia päättyy 7: ään ja 25 prosenttia päättyy 9: ään.
Muutama vuosi sitten Stanfordin numeroteoreetikot Lemke Oliver ja Kannan Soundararajan tarttuivat vartiointiin primaarien viimeisissä numeroissa. Kokeessa tarkasteltiin alkupään viimeistä numeroa ja seuraavan alkun viimeistä numeroa. Esimerkiksi seuraava alkuluku 23 jälkeen on 29: Yksi näkee 3 ja sitten 9 viimeisissä numeroissaan. Näkyykö primejen viimeisten numeroiden joukossa 3 sitten 9 useammin kuin 3 sitten 7?
Viimeisten numeroiden parien taajuus peräkkäisissä alkulukuissa 100 miljoonaan saakka. Vastaavat värit vastaavat vastaavia aukkoja. (MH Weissman, CC BY) Lumiteoreetikot odottivat jonkin verran vaihtelua, mutta heidän havaitsemansa ylittivät paljon odotuksia. Primesit erotetaan toisistaan eri rakoilla; Esimerkiksi 23 on kuusi numeroa päässä 29. Mutta 3-sitten-9-alkut, kuten 23 ja 29, ovat paljon yleisempiä kuin 7-sitten-3-alkutunnukset, vaikka molemmat ovat peräisin kuudesta.
Matemaatikot löysivät pian uskottavan selityksen. Mutta kun kyse on peräkkäisten alkututkimusten tutkimuksesta, matemaatikot ovat (enimmäkseen) rajoittuneet tietojen analysointiin ja vakuuttamiseen. Todisteet - matemaatikkojen kultastandardi selittämään, miksi asiat ovat totta - näyttävät olevan vuosikymmenten päässä.
Tämä artikkeli on alun perin julkaistu keskustelussa.
Martin H. Weissman, matematiikan apulaisprofessori, Kalifornian yliopisto, Santa Cruz
